我们知道,二项展开式（x+y）n=sum from i=0 to n(Cnixn-iyi)的各项系数Cn0,Cn1,…,Cnn的大小规律具有单峰性,即 当n为偶数时,Cn0<Cn1<…Cnn/2,Cnn/2>Cnn/2+1>…>Cnn; 当n为奇数时,Cn0<Cn1<…Cn（n-1）/2=Cn（n+1）/2,Cn（n+1）/2>Cn（n+1）/2+1>…>Cnn。 实际上,（ax+by）n=(sum from i=0 to n(Cnian-ibixn-iyi)（a,b∈R,ab≠0,n∈N+） ①的各项系数的绝对值 gi+1=Cni|a|n-i|b|i（i=0,1,…,n） ②的大小规律也具有单峰性,本文给出这方面的结论。
本文给出m与n之间所有分母为a的既约分数的和Sa（本文中m,n,a是已知的自然数,m<n,a≥2）。 引理 欧拉函数φ（a）表示集合Aa={小于a的自然数中与a互素的数}的元素个数。若a=multiply from i=1 to k (Piai)（Pi是互不相同的素数,ai∈N,i=1,…,k）,则φ（a）=multdiply from i=1 to k (Piai-1)（Pi-1）,Aa的元素和为1/2aφ（a）. 定理 Sa=（1/2）（n2-m2）φ（a）. 证明 m与n之间分母为a的既约分数均可表为（ak+i）/2,其中k=m,m+1,…,n-1,i∈Aa.由引理。
